Максимальное неравенство для косого броуновского движения

Пусть $X_t^\alpha$ — косое броуновское движение с параметром $\alpha\in(0,1)$ и $\tau$ — произвольный момент остановки для $X_t^\alpha$. Мы докажем, что выполнено следующее максимальное неравенство:
$$ \mathsf{E}\bigl[\max_{s\le\tau}X_s^\alpha-\min_{s\le\tau}X_s^\alpha\bigr]\le\sqrt{K_\alpha\mathsf{E}\tau}, $$
где $K_\alpha$ — некоторая константа, зависящая от $\alpha$. Будет найдено явное выражение для $K_\alpha$ а также будет доказано, что неравенство является в некотором смысле точным.
Данное неравенство является обобщением известных максимальных неравенств для стандартного броуновского движения и его модуля.