Числа вращения и модули эллиптических кривых

Речь пойдет о свойствах конструкции, предложенной В. И. Арнольдом (см. «Дополнительные главы теории ОДУ», начало параграфа 27).
Пусть $f$ — аналитический диффеоморфизм окружности, $F$ — его поднятие на прямую. Пусть $a+ib$ — комплексное число, $b>0$. Возьмем полосу $0< \operatorname{Im}z< b$ и факторизуем её окрестность по отношениям эквивалентности $z\sim F(z)+a+ib$ и $z\sim z+1$. Мы получим эллиптическую кривую (тор со структурой комплексного многообразия).
Мы будем исследовать модуль $\mu(a+ib)$ этой эллиптической кривой как функцию от $a+ib$. Оказывается, что поведение такой функции при малых $b$ тесно связано с функцией $a\mapsto\rho(f+a)$, где $\rho$ — число вращения.
В докладе будет дан обзор имеющихся результатов о функции $\mu$; некоторые из них мы докажем. Окажется, в частности, что аналитическую функцию $\mu$ можно аналитически продолжить на некоторые интервалы вещественной оси. Их образы образуют фракталоподобное множество — счетный набор «пузырей», «растущих» в верхнюю полуплоскость из рациональных точек вещественной оси. Все необходимые понятия будут определены по ходу дела. Приглашаются все желающие!