Предельные теоремы для спектра произведения случайных матриц

Пусть для некоторого фиксированного $m\ge 1$ заданы $n=p_0\le p_1\le\cdots\le p_m$. Пусть, далее, $\mathbf X^{(\nu)}=\frac1{\sqrt {p_{\nu-1}}}(X_{jk}^{(\nu)})_{1\le j\le p_{\nu-1},\,1\le k\le p_{\nu}}$ – случайные матрицы с независимыми в совокупности элементами $X_{jk}^{(\nu)}$ с $\mathbf{E} X_{jk}=0$ и $\mathbf{E} |X_{jk}|^2=1$. Рассмотрим матрицу $\mathbf W=\prod_{\nu=1}^m\mathbb F_{\nu}(\mathbf X^{(\nu)})$, где $\mathbb F_{\nu}$ – матричнозначная функция от матрицы $\mathbf X^{(\nu)}$ согласованной размерности. Мы интересуемся предельным поведением эмпирической спектральной меры матрицы $\mathbf W$ в случае, когда матрица $\mathbf W$ квадратная и предельным распределением сингулярных чисел в общем случае. Рассматривается некоторый общий подход для нахождения предельного распределения с помощью средств свободной вероятности. Приводятся различные примеры.