Комплексное число вращения (обзор результатов)

Доклад будет посвящен комплексному аналогу числа вращения (предложен В. И. Арнольдом в 1978 г.) и комплексному аналогу языков Арнольда — пузырям Федорова.
Пусть $f$ — диффеоморфизм единичной окружности $|z|=1$. Фиксируем комплексное число $a$, $0 < |a| < 1$, и склеим границы кольца $|a| < |z|< 1$ по действию отображения $a\cdot f(z)$. Получится тор со структурой комплексного многообразия, то есть эллиптическая кривая.
Комплексное число вращения — это отображение, переводящее комплексное число $a$, $0<|a|<1$, в модуль этой эллиптической кривой.
В докладе я сформулирую все известные мне результаты, касающиеся комплексного числа вращения, и докажу некоторые из них. 16 марта планируется продолжение доклада, посвященное доказательству самого свежего из результатов (Н. Г. Ксавье Бюфф): комплексное число вращения непрерывно продолжается на единичную окружность. Образ единичной окружности (пузыри Федорова) — фрактальное множество, геометрическая структура которого еще не изучена.