Фермионы и теорема Куранта-Гельфанда

Я расскажу об одном красивом утверждении, упомянутом в «Обыкновенных дифференциальных уравнениях» Арнольда в качестве дополнительной задачи в самом конце: если взять первые $n$ собственных функций задачи Штурма–Лиувилля $u_{xx}+q(x)u = \lambda u$ на некотором отрезке, то нули любой их нетривиальной линейной комбинация делят этот отрезок на не больше, чем $n$ частей.
Это утверждение было анонсировано Курантом в случае произвольной размерности как обобщение его теоремы о том, что нули $n$-й собственной функции оператора Лапласа делят многообразие на не более, чем $n$ частей. Однако, доказательство этой обобщённого утверждения так и не было никогда опубликовано. Более того, сначала Арнольд обнаружил, что следствия из этого обобщения противоречили бы результатам квантовой теории поля, а затем Виро построил к этому утверждению контрпример уже для случая сферических гармоник (эта история описана в — увы, вышедшей уже в 2011-м году — работе Владимира Игоревича «Топологические свойства собственных колебаний математической физики»).
Тем не менее, в случае размерности $d=1$ обобщённое утверждение оказывается верным, и доказывается с помощью предложенного И. М. Гельфандом рассуждения — перехода к $n$-фермионной задаче. Этому рассуждению (и различным «ответвлениям в стороны») и будет посвящён рассказ.