Геометрия тканей и кривизна пуассоновых пучков в размерности три

Рассмотрим две согласованные скобки Пуассона $A$ и $B$ в $\mathbb R^3$. Можно ли их одновременно локально привести к постоянному виду?
Согласно конструкции Гельфанда–Захаревича, этот вопрос может быть сведен к вопросу о тривиальности некоторой 3-ткани на плоскости. Эта 3-ткань получается из симплектических листов скобок $A$, $B$ и $A+B$ редукцией по их одномерному пересечению.
Препятствием к тривиализации 3-ткани на плоскости является дифференциальная 2-форма кривизны ткани. Прообраз этой формы при отображении редукции есть 2-форма в $\mathbb R^3$. Будем называть эту 2-форму формой кривизны пуассоновой пары $A,B$. Скобки $A$ и $B$ одновременно приводятся к постоянному виду если и только если форма кривизны обращается в ноль.
Оказывается, существует простая явная формула, выражающая кривизну пары $A,B$ через $A$ и $B$. При помощи этой формулы, в частности, будет показано, что многие пуассоновы пары, связанные с методом сдвига аргумента и лиевыми пучками, не приводятся к постоянному виду.
Начать доклад планируется с рассказа о 3-тканях — красивом, но малоизвестном разделе дифференциальной геометрии.