Случайные величины, связанные с деревом Фарея

Точки дерева Фарея уровня $n$ – это рациональные числа на промежутке $[0,1]$, которые получаются рекуррентным образом по следующему правилу: если $a/b$ и $c/d$ – соседние точки уровня $n-1$, то между ними вставляется точка (уровня $n$) вида $(a+b)/(c+d)$ (медианта Фарея). При этом точки $0/1$ и $1/1$ являются точками нулевого уровня. Альтернативный способ описания дерева Фарея связан с элементами разложения рациональных чисел в непрерывные дроби. Для точек уровня $n$ сумма этих элементов равна $n+1$.
С деревом Фарея можно связать функцию распределения точек уровня $n$ и пару функций $P$ и $Q$, связанных с распределением их числителей и знаменателей. В пределе эти функции являются непрерывными, строго монотонно возрастают и их производные почти всюду равны 0. Вместе с тем кривая $(P, Q)$ является гладкой и содержит большое число точек с фиксированными знаменателями.