Коммутирующие дифференциальные операторы

В докладе будет рассказано о задаче построения пар коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов. В конце 70-х годов И. М. Кричевер построил взаимно однозначное соответствие между такими парами, удовлетворяющими некоторым условиям общего положения, и наборами спектральных данных, которые состоят из алгебраической кривой, некоторой дополнительной структуры на ней и ранга — размерности пространства совместных собственных функций операторов при фиксированных собственных числах общего положения, от значения которого задача восстановления операторов зависит существенным образом.
Так, в случае ранга 1 совместные собственные функции и коэффициенты операторов выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой. В случае же ранга больше 1 задача явного нахождения операторов в общем виде не решена до сих пор. Имеются следующие результаты в этом направлении. И. М. Кричевером и С. П. Новиковым найдены пары коммутирующих операторов ранга два, отвечающие эллиптическим спектральным кривым, О. И. Мохов нашел пары операторов ранга три, также отвечающие эллиптическим спектральным кривым.
В докладе будет рассказано об одном методе построения пар коммутирующих операторов ранга два, отвечающих спектральным кривым произвольного рода. С помощью этого метода найдены примеры операторов с полиномиальными коэффициентами, задающие коммутативные подалгебры алгебры Вейля, с гладкими периодическими коэффициентами и другие.