Бигамильтоновы структуры и топология интегрируемых систем

За интегрируемостью задач, не обладающих явной симметрией, обычно стоит какой-то алгебраический механизм. Один из таких механизмов — гамильтоновость системы относительно одновременно двух скобок Пуассона, удовлетворяющих условию согласованности (бигамильтоновость). Как правило, бигамильтоновы системы оказываются интегрируемыми. И наоборот, для большинства известных интегрируемых задач известна бигамильтонова структура.
В типичной ситуации бигамильтонова структура системы проще, чем ее интегралы. Например, уравнение Кортевега-де-Фриза гамильтоново относительно постоянной и линейной скобки, а интегралы являются полиномами сколь угодно высокой степени. Поэтому выглядит разумным изучать топологию интегрируемых систем, основываясь не на интегралах, а на бигамильтоновой структуре.
В недавних работах А. В. Болсинова, А. А. Ошемкова и докладчика были получены некоторые результаты в этом направлении. В докладе будет рассказана конструкция линеаризации пучка скобок Пуассона. Линеаризация пучка скобок в типичной ситуации содержит практически всю информацию о локальном поведении системы, бигамильтоновой относительно этого пучка. Например, информацию об устойчивости по Ляпунову, а также о невырожденности и типе особенностей в смысле теории топологической классификации интегрируемых систем.
Изложенные результаты будут проиллюстрированы на примерах уравнения движения многомерного твердого тела по инерции, а также уравнения Кортевега–де Фриза.