Предельные теоремы для марковских процессов

Устанавливаются новые предельные теоремы для марковских процессов с дискретным и непрерывным временем. Особое внимание уделяется изучению скорости сходимости маргинальных распределений марковских процессов к инвариантной мере. С помощью модифицированного варианта каплинга Вассерштейна показывается, что свойство сильной эргодичности марковской цепи связано со спектральным радиусом некоторого оператора. Даются новые достаточные условия для слабой эргодичности. В качестве приложения устанавливается новый вариант центральной предельной теоремы для марковских цепей.
Кроме того, получены субэкспоненциальные оценки скорости сходимости марковских процессов к инвариантному распределению в метрике Вассерштейна в предположении, что существует обобщенная функция Ляпунова, а нижние экскурсионные множества «малы» в определенном смысле. Тем самым получено обобщение недавних результатов Робертса, Хайрера, Маттингли, Шеутзоу. В качестве приложения даются новые оценки скорости сходимости к инвариантной мере решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Наконец, для нелинейных марковских цепей получены достаточные условия, гарантирующие существование и единственность стационарной меры, а также сильную эргодичность. Показано, что эти условия носят оптимальный характер.