Четность в маломерной топологии: кривые на поверхностях, виртуальные узлы, кривые в поверхностях и кобордизмы

Основной парадигмой настоящего доклада является следующее утверждение: если некоторые топологические объекты задаются диаграммами, а классы эквивалентности – движениями, и при этом для объектов имеется естественный глобальный способ указывать на различные типы перекрестков (двойных точек, двойных линий), правильно себя ведущий при движениях, то это может быть использовано для усиления многих инвариантов, построения функториальных отображений и т.д.
Начальным примером является теория (виртуальных) узлов. Как известно, узлы задаются гауссовыми диаграммами и движениями Рейдемейстера на них, при этом несложно заметить, что для классических узлов каждая хорда гауссовой диаграммы является четной, т.е. зацеплена с четным количеством хорд. Переход к произвольным гауссовым диаграммам соответствует теории виртуальных узлов (узлов в утолщенных поверхностях с точностью до стабилизации). Естественным упрощением виртуальных узлов являются плоские узлы, которые в свою очередь упрощаются до свободных узлов – у гауссовой диаграммы забывается вся информация в перекрестках (проход-переход, направление по часовой стрелке).
Около 2004 г. В. Г. Тураев выдвинул гипотезу о тривиальности свободных узлов. В 2009 году эта гипотеза была опровергнута автором с использованием понятия четности:
Теорема. Нечетная несократимая гауссова диаграмма свободного узла минимальна в сильном смысле.
Здесь нечетность означает нечетность каждой из хорд, несократимость – невозможность применения второго движения Рейдемейстера, а «сильный смысл» означает, что любая диаграмма, эквивалентная данной, содержит данную в виде разведения.
В доказательстве этой теоремы используются лишь простые свойства поведения четности при движениях Рейдемейстера, таким образом, теорему можно формулировать следующим образом: какова бы ни была четность в некоторой теории узлов, любая несократимая нечетная (в этом смысле) диаграмма узла является минимальной.
В настоящее время автором найдено много четностей. Одним из простых наблюдений является следующая
Теорема. В любой теории узлов с четностью отображение, убивающее нечетные перекрестки, является инвариатным.
Эта теорема, в частности, позволяет установить «фильтрацию» на любой теории узлов с четностью.
Вопрос о наличии нетривиальных четностей в теории классических узлов остается открытой проблемой.
Рассмотрим группу с образующими $a$, $b$, $b'$ и соотношениями $a^2=b^2=b'^2=1$, $ab'=ba$. Эта группа изоморфна бесконечной группе диэдра.
Имеется естественный способ сопоставления свободному узлу K класса сопряженности элементов в этой группы $L(K)$; фактически – целого числа.
Теорема. $L(K)$ является инвариантом свободного узла, более того, если $L(K)$ не равно нулю, то узел $K$ является срезанным (не затягивается диском с двумерными особенностями).
Доказательство этой теоремы опирается на элементарную теорию Морса и обобщение понятия четности с двойных точек на кривых на линии самопересечения двумерных поверхностей. Последнее играет роль в теории двумерных узлов.
Эта теорема доставляет элементарное препятствие к срезанности для свободных узлов. В частности, она доставляет препятствие к затягиванию кривых в двумерных кривых дисками в трехмерных многообразиях. Последняя задача была впервые решена С. Картером и затем исследовалась Тураевым, Орром и др; препятствия для более слабой задачи были построены с использованием спаривания в гомологиях.
С некоторой точки зрения четность можно трактовать как замену классам гомологий (гомотопий) в тех теориях, где явно построить гомологии (гомотопии) представляется затруднительным (например, для свободных узлов).