Об итерации алгебраических точек при рациональном отображении

Пусть $X$ – неприводимое алгебраическое многообразие и $f$ – доминантное рациональное отображение $X$ в себя, определенные над числовым полем. Нас будут интересовать замыкания по Зарисскому итерированных орбит $\{f^k(x),\ k\ge 0\}$, где $x$ – алгебраическая точка $X$. Вначале мы сделаем несколько общих замечаний в случае, когда $f$ имеет неподвижную точки; из них можно вывести простое доказательство потенциальной плотности рациональных точек на многообразии прямых 4-мерной кубики (совместная работа с Ф. Богомоловым и М. Ровинским). С помощью тех же идей в общем случае доказывается, что если $f$ не конечного порядка, то большинство алгебраических точек имеет бесконечную орбиту (в случае, когда $f$ регулярно и поляризованно, это следует из теории канонической высоты, но она не работает для рациональных отображений).