Особенности отображения момента для натуральных систем с магнитным полем, инвариантных относительно вращений

Вопрос описания симметрий механической задачи является классическим и, по сути, лежит в основе большинства физических теорий. Одной из простейших симметрий такого рода является инвариантность задачи относительно вращения, то есть действия группы Ли $SO(n)$ подходящей размерности. Естественно ожидать, что наличие вращательной симметрии будет некоторым образом связано со структурой бифуркационной диаграммы — образа особых точек отображения момента. Этот объект традиционно используется при изучении топологии систем с двумя степенями свободы. Несмотря на естественность такого подхода, на настоящий момент общих результатов в этом направлении неизвестно.
К докладу будет представлена задача, где в качестве группы симметрий рассматривается простейшая, то есть $SO(2)$, а в качестве многообразия берется двумерное евклидово пространство, снабженное некоторой скобкой Пуассона. В задаче рассматривается скобка, представляющая собой сумму канонической постоянной скобки на кокасательном расслоении и некоторой 2-формы на базе этого расслоения — такие скобки традиционно именуются магнитными (эта форма также считается инвариантной относительно вращения).
Более конкретно, рассматриваются натуральные системы на плоскости с гамильтонианом вида $H=T+V$, где $T$ — кинетическая энергия, $V$ — потенциальная энергия, а симплектическая структура содержит магнитную добавку. В ходе исследования удалось найти особые точки ранга 0 и 1, а также классифицировать их по типу особенности. Найдены параметрические уравнения бифуркационных кривых и исследованы некоторые их свойства.