Циклические элементы в полупростых алгебрах Ли

Пусть $\mathfrak g$ — полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 и $e$ — её ненулевой нильпотентный элемент. По теореме Морозова–Джекобсона элемент $e$ может быть включён в $\mathfrak{sl}_2$-тройку $\lbrace e,h,f \rbrace$. Разложение в сумму собственных подпространств оператора $\mathrm{ad}(h)$ есть $\mathbb Z$-градуировка алгебры $\mathfrak g.$ Пусть $d$ — максимальное натуральное число, для которого подпространство $\mathfrak g_d := \lbrace x \in \mathfrak g : [h,x]=dx \rbrace$ отлично от нуля. Всякий элемент вида $e+F$, где $F \in \mathfrak g_{-d}$, называется циклическим элементом, ассоциированным с $e$. Для приложений в теории интегрируемых систем важно знать, для каких нильпотентных элементов существуют ассоциированные с ними полупростые циклические элементы. В докладе будет рассказано решение этой проблемы. Все результаты доклада получены совместно с В. Г. Кацем и Э. Б. Винбергом.