Полубесконечная гомологическая алгебра

Некоторым алгебраическим объектам, таким как тейтовские (локально линейно компактные) алгебры Ли или локально компактные вполне несвязные топологические группы, можно сопоставить теории (ко)гомологий, занумерованные всеми целыми числами и представляющие собой «смесь» гомологий вдоль одной группы переменных и когомологий вдоль другой. В наибольшей ныне известной общности, такие двусторонние производные функторы сопоставляются ассоциативным полуалгебрам, т.е. алгебрам над коалгебрами или кокольцами.
В отличие от обычной ассоциативной алгебры или кольца, над коалгеброй или полуалгеброй есть не две, а четыре абелевых категории модулей — наряду с комодулями, есть еще контрамодули. Естественной областью определения теорий полубесконечных (ко)гомологий являются категории неограниченных в обе стороны комплексов (полу,контра)модулей, рассматриваемых с точностью до эквивалентности, чуть более тонкой, чем привычный квазиизоморфизм — так называемые полупроизводные категории. Полупроизводные категории левых полумодулей и левых полуконтрамодулей над данной полуалгеброй естественным образом эквивалентны.
Я расскажу об истории этой области алгебры, ключевых идеях и концепциях, составляющих ее современное состояние, и приведу наброски некоторых доказательств.