О проективных инвариантах римановых метрик и связностей

Дифференциальный ковариант, действующий на метрики, называется проективно-инвариантным, если он принимает одинаковые значения на проективно-эквивалентных римановых метриках. (Метрики называются проективно-эквивалентными, если они имеют одинаковые геодезические (как кривые без учёта параметризации).) До сих пор был известен один проективный инвариант — проективный тензор Вейля.
На основе теории инвариантов докладчику удалось построить серию новых проективных инвариантов. Оказывается, гораздо больше проективных инвариантов можно получить, если обобщить вопрос и рассмотреть проективные инварианты связностей. В частности, таким путём мы получим проективный инвариант четвертого порядка $E_4$. Его физический смысл следующий: если геодезические метрики $g$ являются траекториями световых лучей в вакууме, то $E_4(g) = 0$. (Другими словами, если метрика $g$ проективно эквивалентна метрике Эйнштейна, то $E_4(g) = 0.$) В частности, используя инвариант $E_4$ и отслеживая траектории лучей, можно экспериментально проверять, действительно ли уравнения Эйнштейна описывают вакуум.