Формулы характера для операды согласованных скобок (по совместной работе с А. Хорошкиным)

Назовём векторное пространство $V$ алгеброй с парой согласованных скобок, если оно снабжено парой кососимметричных операций, причём любая линейная комбинация этих операций задаёт структуру алгебры Ли на этом пространстве (т. е. выполнено тождество Якоби). Рассмотрим свободную алгебру с парой согласованных скобок, порождённую $n$ образующими, и в ней полилинейную часть — пространство элементов, в которые каждая образующая входит один раз. Утверждается, что размерность этого пространства равна $n^{n-1}$.
Если же рассмотреть бигамильтоновы алгебры, т. е. алгебры с тремя операциями, две из которых суть согласованные скобки, а третья — коммутативное умножение, для которого каждая из скобок является дифференцированием, то размерность соответствующего пространства равна $(n+1)^{n-1}$.
В докладе я объясню, как доказать эти утверждения и даже вычислить структуру представления симметрической группы на этих пространствах. Одним из существенных ингредиентов доказательства является теория операд и, в частности, кошулева двойственность для операд.
Также я попытаюсь сформулировать гипотезы, связывающие описанные пространства с алгебрами, обобщающие алгебры Орлика-Соломона.