SAGBI базисы в кольцах мультипликативных инвариантов (по работе Z. Reichstein'а)

Мы начнём с определения аналога базиса Грёбнера (SAGBI базиса) для подалгебры в алгебре многочленов. В 1999 году Гёбель (M. Göbel) высказал гипотезу о том, что кольцо инвариантов подгруппы $H$ симметрической группы $S(n)$, естественно действующей на $K[x_1, \ldots, x_n]$, обладает конечным SAGBI базисом тогда и только тогда, когда $H$ порождена транспозициями. В настоящей работе дано доказательство этой гипотезы. Оно основано на следующем аналоге теоремы Шевалле–Шепарда–Тодда для мультипликативных действий конечных групп:
Пусть $G$ — конечная подгруппа группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ целочисленных обратимых матриц, действующая в кольце полиномов Лорана $K[x_1, x_1^{-1}, \ldots, x_n, x_n^{-1}]$ преобразованиями наборов степеней мономов. Тогда алгебра $G$-инвариантов допускает конечный SAGBI базис тогда и только тогда, когда $G$ порождена отражениями.