Обратная спектральная задача для оператора Штурма–Лиувилля на отрезке

Обратные спектральные задачи для самосопряжённого оператора, порождённого уравнением Штурма–Лиувилля, рассматривались ещё в середине прошлого века. Особый интерес к ним возник после того, как в 1946 году Борг доказал, что скалярный потенциал $v(x)$ однозначно задаётся двумя спектрами уравнения $-\psi''+v(x)\psi=\lambda\psi$, $x\in[0,1]$, с одинаковыми граничными условиями в 1 и разными в 0. Впоследствии для скалярного оператора с различными граничными условиями были доказаны теоремы единственности о том, что спектральные данные однозначно определяют потенциал (см., например, [Ma1]); при помощи различных подходов была получена полная характеризация спектральных данных (см., например, [M77], [lev84], [PT]), и, наконец, был получен явный алгоритм восстановления потенциала по спектральным данным (см., например, [GelLev], [U07]).
В докладе планируется описать метод Трубовица полной характеризации спектральных данных для скалярной задачи Штурма–Лиувилля на отрезке с граничными условиями Дирихле (см. [PT]).
\begin{thebibliography}{XXXX}
\bibitem[B]{B} Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte. (German) Acta Math. 78, (1946). 1–96.
\bibitem[GelLev]{GelLev} Gel'fand, I. M.; Levitan, B. M. On the determination of a differential equation from its spectral function. (Russian) Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat. 15, (1951). 309–360. English Translation: Gel'fand, I. M.; Levitan, B. M. On the determination of a differential equation from its spectral function. Amer. Math. Soc. Transl. (2) 1 (1955), 253–304.
\bibitem[lev84]{lev84} Levitan, B. M. Inverse Sturm-Liouville problems. Translated from the Russian by O. Efimov. VSP, Zeist, 1987. x+240 pp.
\bibitem [Ma1]{Ma1} Marčenko V. A. Concerning the theory of a differential operator of the second order. (Russian) Doklady Akad. Nauk SSSR. (N.S.) 72, (1950). 457–460.
\bibitem[M77]{M77} Marchenko, V. A. Sturm–Liouville operators and applications. Translated from the Russian by A. Iacob. Operator Theory: Advances and Applications, 22. Birkhauser Verlag, Basel, 1986. xii+367 pp.
\bibitem[PT]{PT} Pöschel P., Trubowitz E.: {Inverse spectral theory.} Academic Press, Boston, 1987.
\bibitem[U07]{U07} Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.
\end{thebibliography}