Глобальные ядра функториальности (по Л. Лаффоргу)

В работе Л. Лаффорга ‘`Construire un noyau de la fonctorialité? Le cas de l’induction automorphe sans ramification de $GL_{1}$ à $GL_{2}$" предлагается новый подход к построению отображения автоморфной индукции для самого простого случая: квадратичного расширения $E$ поля $F$ рациональных функций на кривой $X$ над конечным полем.
По проективной кривой $X$, набору многочленов в точках этой кривой и и автоморфному неразветвленному характеру строится сферическая форма(посредством интегрирования с ядром). Эта сферическая форма является вектором в представлениии сферической алгебры Гекке.
Одна из основных теорем работы — доказательство инвариантности ядер относительно действия группы $GL_{2}(F)$. Идея состоит в том, что одно и то же выражение можно представить как сумму (интеграл и сумма связаны посредством формулы Пуассона) значений ядер, которая инвариантна относительно подгруппы верхнетреугольных матриц, и, с другой стороны, как сумму, которая инвариантна относительно подгруппы нижнетреугольных матриц. Тем самым получается необходимая инвариантность. Далее свойство «собственности» следует из свойств элементов алгебры Гекке и формул, по которым строятся эти ядра.
Для доказательства существования таких представлений используется анализ Фурье и формула Пуассона. Отдельно рассматриваются случаи характеров различных типов, строятся локальные ядра функториальности (в точках кривой), из которых собирается глобальное ядро функториальности.