Развитие теоремы Валирона–Гольдберга

Напомню результат, который правомерно называют теоремой Валирона–Гольдберга.
Пусть $\rho(r)$ – произвольный уточненный порядок,
$$ \lim_{r\to+\infty}\rho(r)=\rho\notin\mathbb Z, $$
$f$ – произвольная целая функция порядка $\rho$. Обозначим $n_f(r)$ количество корней (с учетом кратностей) в круге $|z|\leq r$. Тогда при условии
$$ \varlimsup_{r\to+\infty}r^{-\rho(r)}n_f(r)=D<+\infty $$
тип функции $f$ при уточненном порядке $\rho(r)$ не больше $DS(\rho)$, где
$$ S(\rho)=\int_0^{+\infty} r^{-\rho}\,dM_p(r), $$
$p=[\rho]$, $M_0(r)=\ln(1+r)$,
$$ M_p(\rho)=\max_{0\leq\varphi\leq2\pi} \biggl(\frac12\ln(1-2r\cos\varphi+r^2) +\sum_{k=1}^p\frac{r^k}k\cos{k\varphi}\biggr). $$
Этот результат был опубликован в работе Ж. Валирона 1913 года, но доказательство в случае $\rho(r)\not\equiv\rho$ содержало пробелы.
В полном объеме теорема была доказана А. А. Гольдбергом, который доказал также невозможность уменьшения величины $S(\rho)$ в формулировке этой теоремы, каков бы ни был уточненный порядок.