Неравенства для собственных чисел задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа

Пусть $\Omega\subset\mathbb R^d$ — открытое ограниченное множество, и пусть $\Delta_D$ и $\Delta_N$ — операторы Лапласа в $\Omega$ с краевыми условиями Дирихле и Неймана соответственно. Через $N_D(\lambda)$ (соотв. $N_N(\lambda)$) обозначим функцию распределения собственных значений оператора $-\Delta_D$ (соотв. $-\Delta_N$). Не предполагая никакой гладкости границы области, мы покажем, что
$$ N_N(\lambda) \ge N_D(\lambda) + 1 \quad \forall \ \lambda > 0, $$
и что
$$ N_N(\lambda) - N_D(\lambda) \underset{\lambda\to\infty}\longrightarrow \infty \quad \text{при} \ d\geq 4. $$