Неразветвленное соответствие Ленглендса для двумерных локальных полей

В 1995 году М. Капранов предложил идею обобщения соответствия Ленглендса для двумерных арифметических схем. Суть его идеи заключалась в том, что $n$-мерному представлению группы Галуа поля рациональных функций двумерной арифметической схемы должно соответствовать некоторое категорное представление группы $GL(2n, \mathbb{A})$, где $\mathbb{A}$ — кольцо аделей Паршина–Бейлинсона этой схемы. Работа Капранова не содержала конструкцию такого соответствия, но он проверил свою гипотезу в локальном случае для случая $n=1$, связав ее с двумерной локальной теорией полей классов Паршина–Като.
Я расскажу о недавно полученном мной категорном обобщении неразветвленных представлений основной серии для группы $GL(2n,K)$, где $K$ — двумерное локальное поле. Кроме того, будет рассказано о свойствах полученных категорных представлений, которые обобщают аналогичные свойства, известные для одномерных локальных полей. Я определю понятие гладкого неприводимого представления при действии группы $GL(2n,K)$ на $\mathbb{C}$-линейной абелевой категории. Полученные результаты позволяют точно сформулировать гипотезу о неразветвленном соответствии Ленглендса для двумерных локальных полей, с одной стороны которого будут неразветвленные полупростые $n$-мерные комплексные представления группы Галуа поля $K$, а с другой стороны — неприводимые гладкие представления группы $GL(2n,K)$ в $\mathbb{C}$-линейных абелевых категориях.