Инварианты узлов и 3-многообразий через подсчет поверхностей

Гауссовы диаграммы представляют собой удобный комбинаторный способ кодирования кривых на поверхностях и диаграмм узлов. Многие инварианты узлов могут быть получены подсчетом (с весами) различных поддиаграмм Гауссовой диаграммы. В частности, известно, что все Васильевские инварианты (а следовательно, и их комбинации, такие как полином Александера, Джонса или HOMFLY) могут быть получены таким образом. Главной проблемой при этом является подбор весов, отвечающих различным комбинаторным типам поддиаграмм.
Мы связываем с каждой поддиаграммой ленточную поверхность; некоторые дополнительные условия позволяют нам определить и ориентацию края этой поверхности. Оказывается, что стандартные инварианты узлов (например, полиномы Александера и HOMFLY) допускают «топологическое разложение» отвечающее подсчету поверхностей с фисированным родом, числом компонент края и ориентации на них.
Затем мы применяем схожую технику и к инвариантам 3-мерных многообразий. Многообразие описывается как результат перестройки сферы по оснащенному зацеплению. Вновь оказывается, что ряд интересных инвариантов многообразий может быть получен подсчетом поддиаграмм некоторых фиксированных типов. Например, инвариант Кассона–Уокера отвечает подсчету торов с одним проколом. Это является элементарным комбинаторным аналогом пертурбативных инвариантов 3-многообразий.
Предварительного знания этих областей не предполагается; основная часть доклада будет понятна любому студенту с базисным знанием топологии.