Главные $\mathfrak{sl}_2$-подалгебры и показатели комплексных простых групп Ли (по почти одноимённой статье Бертрама Костанта)

В своей работе 1959 года “The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group” Б. Костант исследовал главные $\mathfrak{sl}_2$-подалгебры комплексных простых алгебр Ли, их классы сопряжённости, а также связь с показателями алгебры и элементами Кокстера соответствующих групп Вейля. В частности, им были найдены объяснения для некоторых свойств показателей, которые были на тот момент известны лишь эмпирически. Прежде всего стоит отметить замеченный Арнольдом Шапиро комбинаторный способ подсчёта показателей, использующий структуру системы корней (теперь этот способ зачастую используется как определение показателей, тогда как на момент написания статьи эти числа определялись как показатели степеней в некоторой специальной записи полинома Пуанкаре алгебры Ли). Кроме того, в этой статье была окончательно обоснована интерпретация показателей в терминах собственных значений элементов Кокстера группы Вейля как операторов на картановской подалгебре.
В ходе изложения результатов этой работы будут, помимо прочего, объяснены некоторые из фактов, на которые Костант ссылался при написании статьи “Lie group representations on polynomial rings” и доказательства которых были мной опущены в предыдущем докладе.