Обобщение эллиптического закона для случайных матриц

Эллиптический закон для случайных матриц был впервые сформулирован Гирко В. Л. в 1985 году в работе [1]. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ — собственные числа случайной матрицы $\mathbf X=(X_{j,k})_{j,k=1}^n$, элементы которой удовлетворяют условиям $\mathbf {C0}$:

• $\mathbf{E} X_{jk}=0, \quad\mathbf{E} X_{jk}^2=1;$
• векторы $X_{jk}$, $X_{kj}$ независимы для всех $1\le j\le k\le n$;
• $\mathbf{E} X_{jk}X_{kj}=\rho$, для всех $1\le j<k\le n$.

Пусть $\mu_n$ означает эмпирическое распределение на множестве собственных чисел матрицы $\mathbf X$. При определенных дополнительных условиях на распределения элементов матрицы Гирко показал, что распределение $\mu_n$ сходится к равномерному распределению в эллипсе $\mathcal E=\{x,y: \frac{x^2}{1+\rho}+\frac{y^2}{1-\rho}\le 1\}$.
В случае, когда элементы матрицы имеют совместное гауссовское распределение, случай $\rho=1$ соотвествует вигнеровской матрице и предельное распределение — полукруговой закон. Cлучай $\rho=0$ соответствует матрице из ансамбля Жинибра–Гирко, и предельное распределение — круговой закон.
В недавней работе А. Наумова [2] был доказан эллиптический закон для матриц, удовлетворяющих условию $\mathbf{C0}$ и дополнительному предположению $\mathbf{E}|X_{jk}|^4\le M<\infty$.
В докладе речь пойдет о следующем обобщении эллиптического закона. Мы рассмотрим собственный спектр произведения независимых случайных матриц $\mathbf X^{(l)}$, удовлетворяющих условию $\mathbf {C0}$. Пусть матрица $\mathbf W=\prod_{l=1}^m\mathbf X^{(l)}$. Обозначим $\lambda_1,\dots, \lambda_n$ собственные числа матрицы $\mathbf W$. Рассмотрим эмпирическую спектральную меру $\mu_n^{(m)}$ матрицы $\mathbf W$, определенную как равномерное распределение на множестве собственных чисел $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Для любого борелевского множества $B\subset \mathcal C$ на комплексной плоскости определим меру $\nu_n^{(m)}(B)=\operatorname{E}\mu_n^{(m)}(B)$. Введем в рассмотрение случайную величину $\xi$ на комплексной плоскости, равномерно распределенную в единичном круге. Обозначим через $\mu^{(m)}$ вероятностную меру на плоскости соответствующую распределению случайной величины $\xi^m$. Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть случайные матрицы $\mathbf X^{(l)}$, $l=1,\dots,m$, независимы и удовлетворяют условию $\mathbf {C0}$. Будем считать, что все случайцные величины одинаково распределены. Пусть $m\ge 2$. Тогда мера $\nu_n$ слабо сходится к мере $\mu^{(m)}$.
Замечание Заметим, что плотность предельного закона
$$ g^{(m)}(x,y)=\frac m{2\pi}(x^2+y^2)^{-\frac{m-1}m}\mathbb I\{x^2+y^2\le 1\} $$
не зависит от $\rho$.
Работа частично поддержана проектами РФФИ, грант № 11-01-00310-а и грант № 11-01-12104-офи-м-2011.
Список литературы
[1] Гирко В.Л. // Теория вероятностей и ее применения. 1985. т. 30. c. 640–651.
[2] Naumov A. // arXiv: 1201.1639, 2012, pp. 1–29.