Автоморфизмы алгебраических многообразий и торическая геометрия

В 1970 году М. Демазюр описал группу автоморфизмов (гладкого) полного торического многообразия. Ключевую роль в этом описании играет комбинаторный объект, который принято называть корнем Демазюра веера рациональных полиэдральных конусов. В 1995 году Д. Кокс интерпретировал это описание в терминах тотального координатного кольца (или кольца Кокса) торического многообразия. Мы получили описание группы автоморфизмов полного рационального многообразия с действием тора сложности один. Кольцо Кокса такого многообразия определяется идеалом, порожденном триномами, а корни – это веса локально нильпотентных дифференцирований. Также будут описаны орбиты группы автоморфизмов на полных и аффинных торических многообразиях.
Для аффинного многообразия $X$ размерности не ниже 2 обозначим через $\operatorname{SAut}(X)$ подгруппу в группе автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)$ порожденную одномерными унипотентными подгруппами. Мы показываем, что если $\operatorname{SAut}(X)$ действует на гладких точках многообразия $X$ транзитивно, то это действие бесконечно транзитивно. Эти условия также эквивалентны гибкости, т.е. порождаемости касательного пространства в каждой гладкой точке векторами скоростей одномерных унипотентных подгрупп. Мы находим широкие классы гибких многообразий и описываем разнообразные применения понятия гибкости в геометрии.
Доклад основан на результатах совместных работ с И. Бажовым, М. Зайденбергом, Ш. Калиманом, Ф. Кутчебаухом, К. Куюмжиян, А. Льендо, Х. Фленнером, Ю. Хаузеном и Е. Херпих.