Инварианты Жордана–Кронекера конечномерных алгебр Ли

В докладе будет рассказано о новом типе инвариантов конечномерных алгебр Ли, естественным образом возникших при исследовании бигамильтоновых систем. Инварианты, о которых идет речь, можно понимать как инварианты структурного тензора $c_{ij}^k$. Классический подход, предложенный Э. Картаном и ставший одним из основных инструментов для классификации полупростых алгебр Ли, состоит в том, чтобы рассмотреть оператор $\mathrm{ad}_\xi = (c_{ij}^k \xi^i)$ для элемента общего положения, а затем исследовать структуру его собственных подпространств.
Тензору $c_{ij}^k$ естественным образом можно сопоставить другой объект — кососимметрическую 2-форму $\mathcal A_x = (c_{ij}^k x_k)$. В отличие от оператора $\mathrm{ad}_\xi$ эта форма никакими инвариантами (за исключением ранга) не обладает. Однако нетривиальные инварианты появятся как только мы рассмотрим не одну, а две такие формы $\mathcal A_x$ и $\mathcal A_a$ (в них без труда можно распознать согласованные пуассоновы структуры, возникающие в методе сдвига аргумента). Инварианты пары кососимметрических форм $\mathcal A_x$ и $\mathcal A_a$ описываются теоремой Жордана–Кронекера, именно о них и пойдет речь в докладе.
Будет рассказано, как эти инварианты могут быть использованы для исследования различных свойств конечномерных алгебр Ли, в основном, разумеется, связанных с коприсоединенным представлением и скобкой Пуассона–Ли. Однако основную роль инварианты Жордана–Кронекера должны по-видимому сыграть при доказательстве следующей «обобщенной гипотезы о методе сдвига аргумента». Напомним, что согласно классической теореме Мищенко–Фоменко сдвиги инвариантов коприсоединенного представления дают полный набор полиномов в инволюции на произвольной полупростой алгебре Ли $\mathfrak g=\mathfrak g^*$. При этом они коммутируют не только относительно стандартной скобки $\{~{,}~\}$ на $\mathfrak g^*$, но и относительно постоянной скобки $\{~{,}~\}_a$ с «замороженным аргументом», заданной формой $\mathcal A_a$, $a\in\mathfrak g^*$. В случае произвольной алгебры Ли сдвиги инвариантов полного набора могут не давать, но ничто не мешает надеяться на справедливость следующего утверждения: на двойственном пространстве $\mathfrak g^*$ всякой конечномерной алгебры Ли $\mathfrak g$ всегда существует полный набор полиномов, коммутирующих относительно сразу двух скобок Пуассона $\{~{,}~\}$ и $\{~{,}~\}_a$.