О квантовании перемычек в уравнениях Джозефсона

Уравнение, моделирующее эффект Джозефсона — это неавтономное дифференциальное уравнение на торе (произведении пространственной и временной окружностей), происходящее из физики сверхпроводников. Его правая часть — линейная комбинация синусов от временной и пространственной переменных и константы. Коэффициент при синусе от пространственной переменной мы фиксируем и возьмем его равным единице. Получается двупараметрическое семейство дифференциальных уравнений, зависящее от константы $a$ и коэффициента $b$ при синусе времени. Отображение Пуанкаре первого возвращения есть диффеоморфизм окружности. Его число вращение есть функция, зависящая от двух параметров. Языки Арнольда — это области в пространстве параметров, где число вращения принимает постоянное значение. В работах В. М. Бухштабера, О. В. Карпова и С. И. Тертычного были получены следующие результаты:
— языки Арнольда возникают только при целых значениях числа вращения;
— для каждого целого значения числа вращения соответствующие языки Арнольда образуют бесконечную цепочку примыкающих друг к другу областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении.
Один из подходов к исследованию семейства уравнений Джозефсона состоит в комплексификации и исследовании ассоциированного с ним семейства линейных дифференциальных уравнений с комплексным временем, которые имеют две иррегулярных особенности: в нуле и на бесконечности. В ходе численных экспериментов, проведенных В. А. Клепцыным, Д. А. Филимоновым и И. Щуровым, было обнаружено, что перемычки (точки примыкания соседних областей) имеют целочисленные абсциссы (a-координаты), и все перемычки, отвечающие одному и тому же числу вращения, лежат на одной и той же вертикальной прямой с целочисленной абсциссой. Оказывается, что этот факт легко следует из классических результатов о явлении Стокса из теории линейных уравнений. Об этом и о смежных вопросах из теории линейных уравнений будет рассказано в докладе.