О многообразиях двойных смежных классов

Пусть $G$ — линейная алгебраическая группа, $H$ и $F$ — её замкнутые подгруппы. Рассмотрим двойные смежные классы $FgH$ в группе $G$. Они являются орбитами действия группы $H \times F$ на $G$, заданного формулой $(f,h)g = fgh^{-1}$. Определим многообразие двойных смежных классов $F \backslash\backslash G//H$ как подлежащее пространство категорного фактора для этого действия.
В докладе будут рассмотрены два свойства многообразий $F \backslash\backslash G//H$, которые отличают их от однородных пространств группы $G$.
Первое состоит в том, что для многообразий двойных смежных классов нет теоремы Шевалле, т. е. они могут не существовать. Мы приведём соответствующие примеры и объясним, откуда они возникают.
Второе отличие связано с теоремой Крафта-Попова. Напомним, что если характеристика основного поля равна нулю, то однородное пространство $G/H$ редуктивной группы $G$ не изоморфно аффинному пространству ни для какой собственной подгруппы $H$. В случае многообразий двойных смежных классов это не так; мы рассмотрим случай, когда $G$ — простая классическая группа, $H$ — связная сферическая редуктивная подгруппа, и $F$ — максимальный тор в $G$. Мы перечислим все пары $H \subset G$, для которых многообразие $F \backslash\backslash G//H$ является аффинным пространством. Интересно отметить, что из полученной классификации следует эквивалентность следующих трёх условий:
1. многообразие $F \backslash\backslash G//H$ является аффинным пространством;
2. многообразие $F \backslash\backslash G//H$ гладко;
3. образ единицы группы $G$ в $F \backslash\backslash G//H$ является гладкой точкой.