О геометрии полинома Александера II

Планируется обсудить полином Конвея от $n$ переменных и завершить доказательство теоремы, анонсированной в сентябрьском докладе.

Формулировка теоремы иллюстрируется рисунком в прикреплённом файле (файл может не открываться с мобильных устройств). На нём несколько раз изображено одно и то же двухкомпонентное зацепление $L$ с коэффициентом зацепления $-1$. Нижняя левая картинка удобна для вычисления обобщённого инварианта Сато–Левина $\beta(L)$ по известной формуле подскока при самопересечении компоненты: $\beta(L_+)-\beta(L_-)=\mathop{lk}(Q,K)\mathop{lk}(Q',K)$, где $Q$ и $Q'$ — два узла, содержащиеся в самопересечённой компоненте, а $K$ — неподвижная компонента. Эта формула подскока возникла независимо в работах Тральди (1988), Поляка–Виро (1994), Кирка–Ливингстона (1997), Ахметьева (1998) и Наканиши–Ойямы (2002). Чтобы из нарисованного зацепления $L$ получить зацепление Хопфа (на котором $\beta$ обнуляется), надо сделать 4 самопересечения (в местах, помеченных буквами $a$, $b$, $c$, $d$) и, как это ни удивительно, только одно из них даёт ненулевой вклад.

Верхняя левая картинка удобна для вычисления $\beta(L)$ по новой геометрической формуле, анонсированной в сентябре. А именно, на компоненты зацепления надо натянуть поверхности Зайферта $F$ и $G$, пересекающиеся вдоль единственной дуги. (На верхней левой картинке такие поверхности Зайферта видны невооружённым глазом.) Далее у первой поверхности $F$ надо взять симплектический базис $p_1, q_1,\dots,p_n, q_n$. (В нашем случае $n=1$.) На эти кривые натягиваются поверхности Зайферта $F_1, G_1,\dots,F_n, G_n$, не пересекающие второй компоненты зацепления (пересекают ли они первую, не имеет значения). Тогда они пересекают поверхность Зайферта $G$ второй компоненты по кривым $a_1, b_1, \dots ,a_n, b_n$. В этих терминах обобщённый инвариант Сато–Левина даётся с точностью до знака удвоенной суммой индексов пересечения $2(a_1\cdot b_1 + \dots + a_n\cdot b_n)$. Знак тоже вычисляется, а как именно — обсудим в понедельник.

Для доказательства теоремы пригодятся результаты октябрьского, ноябрьского и первого январского докладов, а также теорема Пржитицкого–Ясухары, разобранная в прошлогоднем докладе Никиты Артёмова.

Дистанционное подключение: https://mian.ktalk.ru/j1xwg956wc7a
PIN-код: Число гомотопических классов отображений из слова ПЁС в слово ЁЖ (где под словом понимается изображаемое его буквенной записью подмножество плоскости)