Условия регулярности приращений и плотностей функции восстановления для распределений без первого момента

Асимптотика функции восстановления, порожденной распределением $F(t)$ с правильно меняющимися хвостами $F(-t)+1-F(t)$ порядка $\beta\in(0,1]$ без первого момента, легко вычисляется с помощью Тауберовой теоремы. Асимптотика приращений таких функций восстановления в неарифметическом случае описана Эриксоном (1970, 1971). Ситуация такова, что для $\beta\in(0.5,1]$ приращения функции восстановления асимптотически приращению аргумента, умноженному на формальную производную функции восстановления (без дифференцирования медленно меняющейся функции). Для $\beta\in(0,0.5]$ это не так.
В. Ватутин и докладчик нашли условия
$$ F(-t+\Delta)-F(t+\Delta)-F(-t)+F(t)=O(\Delta)(F(-t)+1-F(t))/t,\ \ t\to\infty, $$
достаточные для подстановки формальной производной функции восстановления и для $\beta\in(0,0.5]$.
В абсолютно непрерывном случае найдены достаточные условия для формального дифференцирования функции восстановления один и два раза.