Обобщение одной теоремы И. И. Привалова

Пусть $\Gamma$ — жорданова кривая, $D$ — область, которую она ограничивает, $G$ — дополнение $D^-$, $H^b(D)$, $H^b(G)$ — классы аналитических, соответственно, в $D$ или в $G$, функций, удовлетворяющих в них $b$-условию Гёльдера. Если $f$ лежит в $H^b(G)$, дополнительно предполагаем, что $f(\infty) =0$.
Через $H^b(\Gamma)$ обозначаем $b$-класс Гёльдера на $\Gamma$. Для кусочно-гладкой $\Gamma$ без нулевых углов И. И. Привалов доказал, что при $0<b<1$ для функции $f$ из класса $H^b(\Gamma)$ существуют функции $g$ из $H^b(D)$ и $h$ из $H^b(G)$ такие, что при $z$ из $\Gamma$ выполняется свойство $f(z) =g(z) +h(z).$ (1)
В докладе этот результат будет обобщен на неспрямляемые кривые $\Gamma$. Пусть $B_r(z)=\{w:|w-z|\leq r\}$, $m_a(S)$ - мера Хаусдорфа размерности $a$ множества $S$, $S$ содержится в $C$. Компакт $K$ обладает свойством Альфорса–Давида размерности $a$, если существуют постоянные $c$ и $d$, не зависящие от $z$ и $r$, такие, что для любого $z$ из $K$ и любого $r$, $0<r<\text{diam} K$, выполнены оценки $cr^a<m_a(K \cap B_r(z)) <dr^a$.
Теорема. Пусть кривая $\Gamma$ является множеством Альфорса–Давида размерности $a$, $1<a<2$, $ a-1<b<1$. Тогда для функции $f$ из класса $H^b(\Gamma)$ найдутся функции $g$ из класса $H^b(D)$ и $h$ из класса $H^b(G)$, для которых справедливо соотношение (1).