Аннотация:
Рассматривая кольцо дифференциальных операторов
$D_n=K[[x_1, ... , x_n]][d]$ как подкольцо некоторого полного некоммутативного
кольца $\hat{D}_n^{sym}$ (отличного от известного кольца формальных
псевдодифференциальных операторов!), нормальные формы дифференциальных
операторов, упомянутые в заголовке, получаются после сопряжения на некоторый
обратимый оператор ("оператор Шура"), вычисляемый с помощью одного из
операторов в кольце.
Нормальные формы коммутирующих операторов – это многочлены с постоянными
коэффициентами от операторов дифференцирования, интегрирования и сдвига,
имеющие конечный порядок по каждой переменной, и могут быть эффективно
вычислены для любых заданных коммутирующих операторов. Согласно известной
классификации (теорема Кричевера и ее различные обобщения), любое
коммутативное подкольцо ОДО может быть закодировано в терминах спектральных
данных, состоящих из неприводимой проективной кривой (может быть особой),
спектрального пучка ранга $r$ (пучок без кручения с нулевыми когомологиями)
и некоторых дополнительных формальных данных.
Я расскажу о некоторых приложениях теории нормальных форм: эффективной
параметризации пространства модулей пучков без кручения с нулевыми
когомологиями на проективной кривой, а также о соответствии между решениями
уравнения струны $[P,Q]=1$ в кольце дифференциальных операторов (и в частности,
в первой алгебре Вейля) и парами коммутирующих обыкновенных дифференциальных
операторов ранга один. Решения уравнения струны в первой алгебре Вейля
описывают всевозможные ее эндоморфизмы, и таким образом удается получить
новые условия, выделяющие эндоморфизмы, не являющиеся автоморфизмами.
Аналогичное описание пространства модулей спектральных пучков на спектральных
многообразиях для колец коммутирующих операторов ожидается и в произвольной
размерности.