Закон нуля или единицы в $\mathbb Z^d$ для модуля проекции на фиксированный вектор. Закон больших чисел

Доклад будет посвящен двум базовым утверждениям о многомерных случайных блужданиях в случайной среде (RWRE): закону 0 или 1 и закону больших чисел.
Закон 0 или 1 утвердает, что для i.i.d. сред модуль проекции RWRE на фиксированный вектор уходит на бесконечность с вероятностью 0 или 1. Отметим, что для размерности $d=2$ можно доказать это утверждение и для самой проекции (а не для ее модуля), однако этот факт будет разобран в последующих докладах. Вопрос о том, верно ли это для $d>2$ при дополнительном предположении об эллиптичности меры на пространстве сред, до сих пор отсается открытым.
Закон больших чисел в классическом виде может быть сформулирован только в предположении, что закон 0 или 1 для проекции все же имеет место. Без этого предположения закон больших чисел можно написать только для проекции на фиксированный вектор.
Доказательства описанных законов заметно сложнее, чем в размерности 1, однако все же остаются достаточно ясными для понимания.