Комбинаторные свойства динамических систем, спектр и квантовые солитоны

Речь пойдет о динамических системах, заданных преобразованием или действием группы, сохраняющим меру в фазовом пространстве. Б. Купман, Дж. фон Нейман и др. (1931–32) предложили сопоставить динамической системе унитарный оператор (унитарное представление) в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых относительно инвариантной меры комплекснозначных функций. Спектральные инварианты этого унитарного оператора называются спектром динамической системы. В то же время преобразование с инвариантной мерой, как правило, можно ассоциировать со случайным процессом $x_k$, генерирующим бесконечное слово над конечным алфавитом.
Долго оставался открытым вопрос о том, определяет ли спектр динамическую систему однозначно с точностью до изоморфизма? Знаменитый результат А. Н. Колмогорова (1958) гласит, что существует инвариант комбинаторной природы (метрическая энтропия), определяемый в терминах структуры последовательности $x_k$ и позволяющий различить динамические системы, обладающие одинаковым спектром. Характерным примером является процесс Бернулли — последовательность независимых случайных величин $x_k$, принимающих значения 1 и 0 с вероятностью $p$ и $1-p$. Унитарный оператор для такой системы имеет спектр бесконечной кратности, причём спектральная мера системы эквивалентна мере Лебега на $[0,1]$ при любом $p$.
С. Банах сформулировал открытый и по сей день вопрос о том, существует ли преобразование, обладающее лебеговской спектральной мерой и в то же время спектром кратности один? В докладе будет рассказано о конструкции эргодического потока — однопараметрического семейства преобразований, дающего положительный ответ к гипотезе Банаха для действий группы $R$, и о том, как данная динамическая система связана с вопросом Дж. Литтлвуда (1966) о плоских тригонометрических полиномах и солитонными решениями некоторых квантовых систем. Обобщая обнаруженное явление, мы расскажем о новых аналитических и комбинаторных эффектах, связанных с проблемой исследования спектрального типа символических динамических систем.
Специальных знаний для понимания содержания доклада не требуется.