Невихревые уравнения Максвелла в цилиндре, обратные волны, резонансное излучение и линейный операторный пучок Келдыша

Если бросить камень в воду, то круги от него будут расходиться, а не сходиться. С математической точки зрения это утверждение формулируется как совпадение знаков фазовой и групповой скорости волны. В то же время, начиная с работ Лэмба, известно что в упругом цилиндре знаки фазовой и групповой скоростей волны могут иметь противоположное направление. Подобные волны называются обратными. Аналогичное явление имеет место и в электродинамике. Возникает вопрос об исследовании соответствующих спектральных задач и правильной постановке условий излучения в цилиндре.
Уравнения Максвелла содержат восемь уравнений для шести неизвестных функций — шесть вихревых и два для дивергенций полей. При постановке начально-краевой задачи для уравнений Максвелла традиционно в качестве уравнений выбирают вихревые уравнения. Оставшиеся два уравнения рассматривают как их следствия. Это приводит к неоправданно тяжелым, по сути не поддающимся исследованию, спектральным задачам при попытках рассмотрения задач в цилиндре. Задачи в цилиндре имеют широкий круг приложений, например, к ним относятся задачи волоконной оптики. Мы используем подход, основанный на ином выборе основных уравнений, который сразу сводит спектральную задачу к линейному пучку Келдыша и очень сильно упрощает ее исследование. Рассматриваются различные примеры и приложения — излучение обратных волн, картины дисперсионных кривых их особых точек, резонансное излучение с аномальной скоростью роста.