Об асимптотиках вероятностей больших уклонений случайного блуждания в случайной среде с печеньем

В докладе будут представлены новые результаты об асимптотиках вероятностей больших уклонений для случайного блуждания в случайной среде с печеньем. Определим указанный случайный процесс. Пусть
$$ \vec{p} = \{p(i)\}_{i \in \mathbb{Z}}, \quad \vec{p_1} = \{p_1(i)\}_{i \in \mathbb{Z}} $$
являются независимыми последовательностями независимых и одинаково распределенных случайных величин со значениями в $(0, 1)$. Пусть случайная последовательность $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ такова, что
$$ \mathbf{P}(X_{n+1} = 1|\vec{p}, \vec{p_1}, X_1, . . . , X_n, S_n = i, D_n(i) = 0) = p_1(i), \\ \mathbf{P}(X_{n+1} = -1|\vec{p}, \vec{p_1}, X_1, . . . , X_n, S_n = i, D_n(i) = 0) = 1 - p_1(i), \\ \mathbf{P}(X_{n+1} = 1|\vec{p}, \vec{p_1}, X_1, . . . , X_n, S_n = i, D_n(i) > 0) = p_1(i), \\ \mathbf{P}(X_{n+1} = -1|\vec{p}, \vec{p_1}, X_1, . . . , X_n, S_n = i, D_n(i) > 0) = 1 - p_1(i). $$
Здесь
$$ S_0 := 0,\: S_n := \sum_{i=1}^{n}X_i,\quad D_n(i) := \sum_{j=1}^{n}I(S_{j-1} = i, X_j = -1),\quad n \in \mathbb{N},\: i \in \mathbb{Z}. $$
Случайный процесс $\{S_n\}_{n \ge 0}$ называют случайным блужданием в случайной среде с печеньем. Данная модель обобщает модель классического случайного блуждания в случайной среде (RWRE), введенного в работе F. Solomon [1], которая соответствует случаю, когда случайные величины $p_1(0)$ и $p(0)$ равны по распределению. Предельные теоремы для RWRE получены в работе [2]. Автором в работе [3] получены асимптотики вероятностей больших уклонений в локальной форме для первого момента достижения уровня $n$. Положим
$$ T_0 := 0,\quad T_n := \min\{k \in \mathbb{N} : S_k = n\},\quad n \in \mathbb{N}. $$
В докладе будут представлены результаты об асимптотиках вероятностей $\mathbf{P}(T_n = k)$ для модели случайного блуждания в случайной среде с печеньем.

Список литературы

1. Solomon F., “Random walks in a random environment”, The Annals of Probability, 3:1 (1975), 1–31
2. Kesten H., Kozlov M., Spitzer F., “A limit law for random walk in a random environment”, Compositio mathematica, 30:2 (1975), 145–168
3. Бакай Г. А., “О больших уклонениях момента достижения далекого уровня случайным блужданием в случайной среде”, Дискретная математика, 34:4 (2022), 3–13