Порядок вторичного функционала гладкого отображения сферы

Рассмотрим гомотопное постоянному отображение $a$ из сферы $S^n$ в многообразие $M^{n+1}$. Продолжив его до отображения шара $D^{n+1}$ в $M^{n+1}$, можно посчитать интеграл по шару от обратного образа формы объёма, обозначим этот интеграл $I$. Рассмотрим функционал $f$, ставящий в соответствие отображению $a$ величину
$$ I\bmod B\in\mathbb R/B, $$
где $B\leqslant\mathbb R$ — аддитивная подгруппа, выбранная так, чтобы функционал был корректно определён. Функционал $f$ называется вторичным функционалом, связанным с формой объёма. Можно рассматривать вторичные функционалы, связанные с другими замкнутыми формами.
У функционала, определённого на отображениях между двумя множествами и принимающего значения в абелевой группе, определён порядок — число, характеризующее его сложность.
В докладе рассматривается вопрос оценки порядка вторичных функционалов. Я сформулирую и докажу необходимое и достаточное условие того, что порядок вторичного функционала не превосходит 1. Также обсудим верхние оценки порядка в паре весьма широких частных случаев и посмотрим на примеры, в которых верхняя оценка достигается.