Кластерное преобразование Дональдсона-Томаса и $q$-характеры модулей Кириллова-Решетихина

Кластерные алгебры, введенные Сергеем Фоминым и Андреем Зелевинским около 2000 года, являются коммутативными алгебрами, генераторы и соотношения которых строятся рекурсивным образом. Среди этих алгебр есть алгебры однородных координат на грассманианах, на флаговых многообразиях и на многих других многообразиях, которые играют важную роль в геометрии и теории представлений. Основной целью Фомина и Зелевинского было создание комбинаторной структуры для изучения так называемых канонических базисов, которыми обладают эти алгебры и которые тесно связаны с понятием полной положительности в ассоциированных многообразиях. Быстро выяснилось, что комбинаторика кластерных алгебр также появляется во многих других предметах, например, в Пуассоновой геометрии; дискретных динамических системах; высших пространств Тейхмюллера; комбинаторике и, в частности, изучение многогранников, таких как ассоциэдры Сташефа; некоммутативной алгебраической геометрия и, в частности, изучения условий стабильности в смысле Бриджленда, алгебр Калаби-Яу, инвариантов Дональдсона-Томаса и в теории представлений колчанов и конечномерных алгебр.
Колчан — это ориентированный граф. Мутация колчана — это элементарная операция над колчанами и базовый комбинаторный ингредиент определения кластерных алгебр, которые рекурсивно строятся путем многократной мутации исходного семени $(Q, x)$, состоящего из колчана $Q$ и набора переменных $x$, связанных с вершинами колчана $Q$. Важное свойство мутаций Лорановское изменение переменных. Граф обмена имеет вершины, являющиеся семена, полученные из начального $(Q,х)$ путем итерационной мутации, а ребра соответствуют мутациям. Максимальные зеленые последовательности введены Келлером при решении гипотезы периодичности системы Замолодчикова, хотя неявно имеются уже в работе Гайотто–Мура–Ницке. Максимальная зеленая последовательность — это специальный (конечный) путь в ориентированном графе обмена. Не все колчаны имеют максимальные зеленые последовательности. Существование таких последовательностей важно для положительного подтверждения гипотезы Фока-Гончарова. Гончаров и Шен назвали кластерным преобразованием Дональдсона-Томаса преобразование начальных переменных, соответствующие зеленым последовательностям. Для изучения этого преобразование важно не только доказать существование, но и знать явный вид максимальных зеленых последовательностей. Для класса колчанов для координатных колец однородных пространств. Колчаны для квантовых аффинных алгебр можно включить в этот класс.
В нашей совместной работе с Канакубо и Накашима показано, что $q$-характеры модулей Кириллова-Решетихина квантовых аффинных алгебр можно вычислить, используя кластерные преобразования, следуя специфической максимальной зеленой последовательности. Это позволяет получать явные формулы кластерных преобразований Дональдсона-Томаса для координатных колец больших клеток Брюа. А используя алгоритм Френкеля-Мухина или наш алгоритм с Канакубо и Накашима получить явные формулы гораздо быстрее кластерного вычисления преобразования Дональдсона-Томаса.
Доклад должен быть понятен не специалистам.