Факторизация дискретной гармонической меры и хирургия для дискретных областей

Мы докажем следующее свойство факторизации для дискретной гармонической меры: для односвязной дискретной области (например, на квадратной решетке) гармоническая мера граничной дуги (bc) из точки a, также находящейся на границе (т.е. сумма весов траекторий случайного блуждания, начинающихся в a и заканчивающихся на (bc)), с точностью до абсолютной мультипликативной константы представляется через аналогичные двухточечные функции (траектории, ведущие из a в b, из a в c и из b в с). Рассуждения не требуют перехода к пределу и справедливы для произвольных дискретных областей, возможно имеющих много «бутылочных горлышек» и «фьордов» произвольной ширины.
Такая факторизация имеет целый ряд приложений. Мы остановимся на одном из них: возможности строить разрезы дискретных областей, обладающие заданными свойствами с точки зрения факторизации событий для случайного блуждания, оперируя только «аналитическими» терминами и не анализируя «геометрическую» структуру области.