Голоморфные функции и трехмерные выпуклые конусы

5 лет назад исследования по выпуклым аффинным сферам и голоморфным кубическим дифференциалам, связь между которыми была открыта в 90-х годах, привели к следующему результату [1]. Классы конформной изоморфности пар $(U,M)$, где $M$ — односвязная область в $\mathbb C$, а $U\,dz^3$ –голоморфный кубический дифференциал, за исключением пары $(0,\mathbb C)$, находятся в биективном соответствии с классами линейной изоморфности регулярных выпуклых конусов в $\mathbb R^3$. Мы приведём обзор существующих результатов и представим новые результаты, связывающие поведение функции $U$ на границе области с проективным кубическим дифференциалом на границе конуса, а также сформулируем ряд открытых проблем. Данная теория имеет применение в конической оптимизации.