Триангуляции многообразий, похожих на проективные плоскости

В размерностях $d$ = 2, 4, 8 и 16 имеются интересные комбинаторные объекты — триангулированные $d$-мерные многообразия с 3$d$/2 + 3 вершинами, обладающие следующим свойством дополнительности (или самодвойственности): для любого разбиения множества вершин триангуляции на два непересекающихся подмножества ровно одно из этих двух подмножеств натягивает симплекс триангуляции. Топологически такие многообразия являются многообразиями, похожими на проективные плоскости, то есть допускают функции Морса ровно с тремя критическими точками. До недавнего времени было известно совсем мало таких триангуляций: по одной в размерностях 2 и 4 и шесть в размерности 8. В течение последних лет докладчику удалось построить очень много новых примеров таких триангуляций в размерностях 8 и 16 и доказать частичные классификационные результаты для них. При этом классификационные результаты опираются на результаты когомологической теории Смита-Бредона для действий циклических групп простого порядка, а задача определения топологического типа построенных многообразий связана с задачей комбинаторного вычисления рациональных классов Понтрягина. Я расскажу об этих результатах и связях.