Вычисление точек ветвления алгебраической функции с помощью полиномов Эрмита-Паде

В последние годы в ряде работ по молекулярной химии рассматривался вопрос: как численно найти точки ветвления алгебраической функции $f$ по коэффициентам Тейлора ее некоторого ростка $f_\infty$, заданного в некоторой точке $z_0\in\mathbb C$. Мы будем считать, что $z_0=\infty$. В этих работах для этой цели использовались без какого-либо математического обоснования нули дискриминантов $D_n$ полиномов $Q_{n,2}(z)w^2+Q_{n,1}(z)w+Q_{n,0}$, где $Q_{n,j}$ — полиномы Эрмита–Паде первого типа, построенные по набору ростков $[1,f_\infty,f_\infty^2]$. Указанные полиномы Эрмита–Паде определяются из условия $\deg Q_{n,j}\leqslant n$ и
$$ Q_{n,2}(z)f_\infty^2(z)+Q_{n,1}(z)f_\infty(z)+Q_{n,0}(z)=O(z^{-2(n+1)}) \text{ при } z\to\infty. $$
Мы дадим обоснование этого метода в модельном случае, когда $f$ — алгебраическая функция степени 3, а также покажем, что для алгебраической функции степени $m+1$ ее точки ветвления могут быть приближенно найдены с помощью дискриминантов, построенных по полиномам Эрмита–Паде первого типа для набора ростков $[1,f_\infty,\dots,f_\infty^m]$. Более того, мы покажем, что скорость нахождения точек ветвления таким способом — экспоненциальная, что выгодно отличает его от многих других способов. Доклад основан на совместной работе с Р. В. Пальвелевым.