Симплектический группоид и пространство Тейхмюллера замкнутых поверхностей рода 2

Симплектический группоид унипотентных верхнетреугольных матриц, образованный парами $(A,B)$, где $B$ невырожденная nxn матрица, а $A$ и $BAB^t$ — $n \times n$ унипотентные верxнетреугольные, был введен и изучен А. И. Бондалом. Согласно общему определению А. Вейнстейна понятия симплектического группоида он обладает канонической симплектической формой. В случае группоида унипотентных верхнетреугольных матриц проекция двойственной Пуассоновой структуры индуцирует скобку Пуассона на пространстве унипотентных верхнетреугольных матриц, изучавшуюся в работах Бондала, Дубровина, Угаглии, и других.
Мы вычислим кластерную структуру совместимую с этой скобкой Пуассона на пространстве пар $(A,BAB^t)$ и обсудим ее связь с пространствами Тейхмюллера. В качестве неожиданного побочного продукта мы получим кластерную структуру на накрытии пространства Тейхмюллера замкнутых гиперболических поверхностей рода $2$.