Аннотация:
Чтобы найти индекс нелокальных эллиптических дифференциальных операторов со сдвигами, нужно построить теорию характеристических классов, связанных с неподвижными точками действия группы.
Характеристические классы строятся с помощью понятия цикла, введенного Конном [1]. В возникающих ситуациях мы будем работать с более общими объектами, называемыми обобщенными циклами, введенными Гороховским [2].
Пусть $X$ — гладкое многообразие и Г, действующая не нём слева дискретная группа диффеоморфизмов. Фиксируем элемент $g \in \Gamma$, для которого множество неподвижных точек $X^g$ является подмногообразием. Пусть данно векторное $\Gamma$-расслоение $E \in \text{Vect}_\Gamma(\widehat{X}^g)$, где пространство $\widehat{X}^g$ является дизъюнктным объединением подмногообразий неподвижных точек:
$$
\widehat{X}^g = \bigsqcup_{h \in \langle g \rangle} X^h.
$$
Здесь через $\langle g \rangle\subset \Gamma$ обозначен класс сопряжённости элемента $g$. Мы строим новый обобщенный цикл над алгеброй cкрещенного произведения $C_c^{\infty}(X) \rtimes \Gamma$ обобщая замкнутый след, построенный Гороховским. Наш след локализован в элементе $g$ группы $\Gamma$. Мы используем формулу Джаффе-Лесневский-Остервальдер для характера этого нового обобщенного цикла, чтобы определить эквивариантный характер Черна в
периодических циклических когомологиях cкрещенного произведения
$$
\text{ch}^g(E) \in HP^*(C_c^{\infty}(X) \rtimes \Gamma).
$$
Основным результатом работы является построение обобщенного цикла для любого элемента группы $\Gamma$ и определение соответствующего класса в периодических циклических когомологиях $\text{ch}^g$. Предполагается в дальнейшем использавать Характер Черна для получения формул индекса операторов со сдвигами.
Alain Connes. Noncommutative geometry. Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1994.
Alexander Gorokhovsky. Characters of cycles, equivariant characteristic classes and Fredholm modules. Comm. Math. Phys., 208(1):1–23, 1999.
Доклад проходит через зум. Идентификатор: 868 7431 4443 Код: 991937
*Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-21-00336, https://rscf.ru/project/24-21-00336/
Обратная связь: