Об индексе эллиптических операторов, ассоциированных с действиями групп

Рассматривается действие дискретной группы $G$ на гладком замкнутом многообразии $X$. Действие индуцирует представление группы операторами сдвига $T_g: u(x)\mapsto u(g^{-1}x)$ в пространствах функций на многообразии и класс матричных операторов со сдвигами вида
$ D=\sum_{g\in G} D_gT_g: C^\infty(X,\mathbb{C}^N)\longrightarrow C^\infty(X,\mathbb{C}^N),$
где коэффициенты $D_g$ — матричные (псевдо)дифференциальные операторы на $X$, причём, только конечное число коэффициентов отлично от нуля.
При выполнении подходящих условий эллиптичности оператор $D$ является фредгольмовым и возникает задача о вычислении его индекса в терминах главного символа $\sigma(D)$ этого оператора (см., напр., [1] и цитированную литературу). Надо отметить, что главный символ является элементом существенно некоммутативной алгебры — скрещенного произведения алгебры матриц-функций на косферическом расслоении многообразия и группы $G$, действующей на указанной алгебре автоморфизмами. В работе [2] был вычислен индекс в случае группы $G=Z$ и было показано, что индекс равен спариванию класса в $K$-теории скрещенного произведения, определяемого главным символом $\sigma(D)$ и эквивариантного класса Тодда многообразия в периодических циклических когомологиях скрещенного произведения.
В настоящей работе мы определяем класс Тодда для групп вида $G=Z\oplus F$, где $F$ — конечная группа, и доказываем соответствующую формулу индекса. Основные сложности, которые было необходимо преодолеть: 1) действие группы, вообще говоря, не предполагается изометрическим; 2) необходимо было описать вклады неподвижных точек действия группы в формулу индекса.
1. Antonevich A., Lebedev A. Functional-differential equations. I. $C^*$-theory. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 70. — Harlow: Longman Scientific & Technical, 1994.
2. Savin A., Sternin B. Index of elliptic operators for diffeomorphisms of manifolds // J. Noncommut. Geom., 83:3 (2014), 695-734.