Лестничные величины и преобразования Спарре-Андерсена

Рассмотрим центрированное случайное блуждание $S_k$. Какова вероятность $p_n$ того, что его первые $n$ шагов положительны? Удивительно, но если блуждание симметрично и распределено непрерывно, то $p_n$ вообще не зависят от распределения приращений! Изначально (конец 1940х) Спарре-Андерсен доказал этот результат аналитическими методами, но затем (в 1960х) Феллером было найдено новое изящное комбинаторное объяснение, основанное на циклическом преобразовании траектории блуждания. Схожие преобразования используются при доказательстве целого ряда утверждений, например, закона арксинуса для общих симметричных непрерывно распределенных блужданий или нахождения вероятности того, что траектория блуждания лежит ниже хорды, соединяющей начало координат и точку $(n, S_n)$. Последний результат чрезвычайно полезен при нахождении распределения числа звеньев выпуклой миноранты блуждания. Мы также обсудим идею Алили и Дони (1999), которые смогли обобщить метод Феллера и найти простую и очень удобную формулу для совместного распределения первых лестничных величин блуждания, то есть момента первого перескока на отрицательную полуось и величину этого перескока. Будут приведены предельные теоремы, иллюстрирующие применение этой формулы.