Многообразия, реализуемые как пространства орбит несвободных действий группы $Z_2^k$ на вещественных момент-угол многообразиях

Планируется продолжение доклада от 20 февраля.
Каждому простому $n$-мерному многограннику $P$ c $m$ гипергранями в торической топологии сопоставляется n-мерное вещественное момент-угол многообразие $RZ_P$, склеенное из $2^m$ копий многогранника. На этом многообразии канонически действует группа $Z_2^m$, причём фактор пространство совпадает с $P$. Обычно рассматриваются подгруппы $H$ в $Z_2^m$, которые действуют свободно. В этом случае фактор пространство автоматически является многообразием. Мы рассмотрим случай произвольной подгруппы ранга $m-r$. Каждая такая подгруппа задаётся набором $L$ из $m$ векторов ранга $r$ в $Z_2^r$, отвечающих гиперграням многогранника. В центре нашего внимания будут следующие вопросы:

• когда фактор пространство $N(P,L)$ является многообразием/сферой/рациональной гомологической сферой
• когда на таком многообразии действует инволюция, пространство орбит которой является сферой. Такие многообразия и инволюции называются гиперэллиптическими.

В докладе 20 февраля был описан критерий, когда $N(P,L)$ является многообразием. Его можно вывести из результатов М.А.Михайловой (1985) и К.Ланге (2019).
В продолжении доклада планируется описать следующие результаты.
Для трёхмерного случая мы предъявим исчерпывающие ответы на оба вопроса, включая полную классификацию гиперэллиптических инволюций, лежащих в группе $Z_2^r$, канонически действующей на $N(P,L)$.
Примеры трёхмерных гиперэллиптических многообразий с геометрической структурой, моделируемой на пространствах $R^3$, $S^3$, $L^3$, $S^2xR$ и $L^2xR$, были построены А.Д.Медных и А.Ю.Весниным на основе гамильтоновых циклов, тета-графов и $K_4$-графов в $1$-остове прямоугольных многогранников.
Мы покажем, что эта конструкция по существу исчерпывает все трёхмерные многообразия $N(P,L)$ с гиперэллиптической инволюцией в $Z_2^r$, только для общего случая нужно рассмотреть вместо границы многогранника более общий сферический комплекс. Будут описаны все комплексы, допускающие более одной гиперэллиптической инволюции. В частности, будет показано, что трёхмерное малое накрытие допускает три гиперэллиптические инволюции тогда и только тогда, когда оно является рациональной гомологической сферой и тогда и только тогда, когда оно индуцировано тремя гамильтоновыми циклами на простом многограннике, такими что через каждое его ребро проходит ровно два из них.
Будет предъявлено обобщение конструкции А.Д. Медных-А.Ю.Веснина на $n$-мерный случай. Для этого мы сначала для произвольного простого n-мерного многогранника предъявим конструкцию подгрупп в $Z_2^m$, пространство орбит которых гомеоморфно $n$-мерной сфере.