ОБРАТИМЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Мы рассматриваем разностные схемы, в которых переход от слоя к слою по времени осуществляются при помощи бирациональных преобразований (преобразований Кремоны). Такие схемы называются обратимыми. Такие разностные схемы можно составить для широкого класса нелинейных динамических систем — систем с квадратичной правой частью, к которому принадлежат как все классические нелинейные осцилляторы, интегрируемые в эллиптических функциях, так и системы, не интегрируемые в классических трансцендентных функциях, напр., несимметричные гироскопы. В компьютерных экспериментах мы с удивлением увидели, что точки приближенных решений, найденные по обратимым схемам для классических осцилляторов, выстраиваются в линии. Эллиптическим осцилляторам соответствует тот особый случай, когда точки не только точных, но и приближенных решений ложатся на эллиптические кривые. Дискретная и непрерывные теории эллиптических осцилляторов описываются одними и теми же формулами: квадратура описывает переход от начальных данных к конечным, движение является периодическим, описывается мероморфными функциями и т.д. Вся разница состоит в том, что в дискретной теории дискрет ∆t подобран таким образом, что бирациональное преобразование, описывающее переход от старого положения системы к новому, продолжается до преобразования Кремоны. (Результаты получены с участием студентов и аспирантов каф. ММ и ИИ Гамбаряна М.М., Коняевой М.А. и Лапшенковой Л.О.) Литература 1).Э. А. Айрян, М. М. Гамбарян, М. Д. Малых, Л. А. Севастьянов. Обратимые разностные схемы для эллиптических осцилляторов // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2023, том 528, с. 54–78 2).M. Malykh, M. Gambaryan, O. Kroytor, and A. Zorin. Finite Difference Models of Dynamical Systems with Quadratic Right-Hand Side // Mathematics 2024, 12, 167.